top of page
Ara

0.9999999... 1’e Eşit Midir?

Matematik dünyasında sıkça tartışılan bir ifade olan 0.9999... devirli sayısının 1 doğal sayısına eşit olup olmadığı durumu ile ilgili geçmişte ortaya atılmış birkaç kanıt bulunmaktadır. Matematikçilerin fikir ayrılığına düşmesiyle birlikte ortaya çıkan bu ispatlardan birçoğuna göre 0.9999... devirli sayısı kesinlikle 1’e eşittir ancak bazıları ise bunun kabul edilemeyeceğini ifade etmektedir. Bana göre, 0.9999... devirli sayısı 1’e tam olarak eşit değildir ancak 1 olarak kabul edilebilecek kadar 1 doğal sayısına yakındır. Öyle ki, matematiksel işlemler buna rağmen çoğu zaman 0.9999... devirli sayısının 1’e eşitliğini onaylar nitelikte olmaktadır. Öyleyse, bu sayının tam olarak 1’e eşit olmadığının farkında olmamıza karşın 1 olarak kabul etmenin bizim önümüzü açacağı görüşündeyim. Bu noktada, matematiğin çok çok küçük olan bir hata payına sahip olduğunun farkında olarak ancak bunu görmezden gelerek sayılar arasındaki keşfimize devam edersek ufkumuzun açılacağını kabul etmeyi tercih ediyorum. (Gelecektekten gelen düzenleme: birkaç yıl sonra bu yazıyı okurken fark ettim ki bu ifade matematik için çok değerli olan kesinliği bozuyor olabilir, ayrıca limitler gibi bu konuyu incelemede kullanışlı olabilecek araçları öğrendim, bir öğretmenime bunu sormalıyım!) (Ayrıca, bu yazıdan sonra Sonsuz Küçükler, yani Infinitesimals ile ilgili İngilizce bir yazı da hazırlamıştım; daha güçlü bir anlama için okuyucunun onu incelemesini de öneriyorum.)


Öyleyse, neden 0.9999... devirli sayısının matematiksel olarak 1’e eşit olduğunu kanıtlayalım:


Öncelikle, 0.9999... devirli sayısının x’e eşit olduğunu kabul edelim. Bu x sayısını 10 ile çarptığımızda 9.9999... devirli sayısını elde ediyoruz. 10x’e eşit olan bu sayıdan x sayısını (0.9999...) çıkardığımızda (9.9999... – 0.9999... = 9) 9x = 9 denklemini elde ederiz. Bu denklem ile x sayısının 1’e eşit olduğuna açıkça ulaşıyoruz. Fakat sürecin ilk başında da x sayısının 0.9999...’a eşit olduğunu ifade etmiştik. Öyleyse x = 0.9999... = 1 olduğuna, bir diğer deyişle 0.9999... devirli sayısının 1 doğal sayısına eşit olduğuna ulaşıyoruz.


İkinci ispatımızda bilinmeyen kullanmayacak, doğrudan birkaç işlem aracılığı ile adeta başladığımız noktaya geri dönerek 0.9999... devirli sayısının 1’e eşit olduğunu kanıtlayacağız. İlk önce, 1/3 kesirli ifadesini düşünelim. 1’i 3’e böldüğümüzde 0.3333... devirli sayısını elde ederiz. 1/3 ifadesini 3 ile çarptığımızda ise 1 doğal sayısını elde ederiz. Daha öncesinde 1/3’ün 0.3333... değerine eşit olduğunu ifade ettiğimize göre 0.3333... devirli sayısını 3 ile çarparsak da 1 sayısını elde edeceğimiz sonucuna ulaşıyoruz. 0.3333... . 3 = 0.9999... olduğuna göre 1 doğal sayısı 0.9999... devirli sayısına eşittir (1 = 0.9999...). Neredeyse aynı değerleri kullanarak benzer bir yolla aynı durumu ispatlayacak olursak: 1/3 ile 2/3’ü topladığımızda 3/3 değerini, yani 1 doğal sayısını elde ederiz. 1/3’ün 0.3333... devirli sayısına eşit olduğunu daha önce belirtmiştik, buna göre 2/3 değeri de 0.3333... + 0.3333... işleminden 0.6666... olarak bulunur. Buna göre, 0.6666... ile 0.3333... değerlerinin toplamı 1’e eşit olmalıdır. 0.6666... + 0.3333... = 0.9999... olduğuna göre, 1 = 0.9999... ifadesi matematiksel açıdan doğru olarak kabul edilebilir.



Kaynakça


Ahlstrom, K. (2018, Mayıs 12). Proof that .99999… is NOT equal to 1. Medium: https://medium.com/@kenahlstrom/proof-that-99999-is-not-equal-to-1-5672e7dd58ce adresinden alındı

Çağlar, S. (2021, Kasım 14). Matematiksel. Küçük Her Zaman Güzeldir: Sonsuz Küçükler: https://www.matematiksel.org/sonsuz-kucukler-hesabi-nedir/ adresinden alındı

Çağlar, S. (2021, Mayıs 11). Matematiksel. 1729 Sayısı Diğer Adıyla Taksi Sayılar: https://www.matematiksel.org/1729-sayisi-diger-adiyla-taksi-sayilar/ adresinden alındı

ND. (2022). How Can 0.999... be equal to 1? Purplemath: https://www.purplemath.com/modules/howcan1.htm adresinden alındı

bottom of page