Pascal Üçgeni

Pascal üçgeni, Blaise Pascal’ın 17. yüzyılda yazdığı bir kitabın yayınlanmasıyla daha fazla tanınır hale gelmiş ve insanların dikkatini çekmiştir. Bu nedenle bu özellik, Pascal’ın kitabından yüzyıllarca önce bulunduğu ortaya çıkmış olmasına rağmen ona atfedilmektedir. Öyle ki, Çin’e ait eski belgeler ve eserler incelendiğinde Çinlilerin bu özelliği Blaise Pascal’ın kitabının yayınlanmasından yaklaşık olarak 700 yıl önce bildiğine ulaşılmıştır. Sayıların arasındaki ilişkileri yakından inceleme fırsatı bulduğumuz ve birçok dikkat çekici özelliğe sahip olan Pascal üçgeninin nasıl oluşturulacağını inceleyecek olursak:

Öncelikle, üçgenin en tepesinde yer alması için 1 sayısı yazılır. Böylelikle, 0. (sıfırıncı) satır olarak düşüneceğimiz ve temeli oluşturan satırı oluşturmuş oluruz. Bu kurala göre üçgenin satırlarının her birinin en sağdaki ve en soldaki sayıları 1’dir. Bu nedenle, 1. satır olarak adlandırdığımız satır olan bir sonraki satırda sadece 2 sayı bulunmasından dolayı bu iki sayı da 2’dir. İlk satıra 0. satır, ikinci satıra 1. satır dememizin sebebi, ilk satırda sadece 1 adet 1 sayısı bulunduğu ve en kenardaki sayıların 1 olmasında dolayı yeni bir sayı elde demiyor olmamız. Çünkü 1’i toplayabileceğimiz başka bir sayı bulunmuyor ve bu da bu üçgenin temel mantığıdır. Buna göre, ikinci satıra da 1. satır dememizin sebebi bu iki 1 sayısını toplayarak başka bir sayı elde edebiliyor olmamız. Yani, bu satırdan itibaren Pascal üçgeninin temel kuralı olan; üçgende bulunan bir sayının, üstünde bulunan iki sayının toplamından oluşması kuralı sağlanmaya başlıyor. Ayrıca, en kenardaki sayıları bulurken sadece 1 adet 1 sayısı olduğu için sayının üstündeki boş olan bölüm 0 (sıfır) olarak kabul edilir. Buna göre, her satır eklendiğinde yeni ve farklı bir eşkenar üçgen oluşur ve bu sonsuza kadar devam ettirilebilir. Böylece de, içinde sonsuz sayı içeren ve sonsuz sayıda kenar uzunluğuna sahip bir üçgen elde edilebilir. Pascal üçgeninin satırlarını cebir üzerinden ve daha derin bir şekilde inceleyecek olursak:

Pascal üçgenindeki satırları sırasıyla a + b toplamının doğal sayı kuvvetlerinin açılımındaki katsayılardan oluştuğunu söyleyebiliriz. Buna göre:

0.         Satır                 (a + b)⁰ = 1

1.         Satır                 (a + b)¹ = 1a + 1b

2.         Satır                  (a + b)² = 1a² + 2ab + 1y²

3.         Satır                  (a + b)³ = 1a³ + 3a² b+ 3ab² + 1b³

4.         Satır                  (a + b)⁴ = 1a⁴ + 4a³ b+ 6a² b²+ 4ab³ + 1b⁴

Tabloyu incelediğimizde bu özelliği net bir şekilde görebiliyoruz. Ayrıca, bu sayılara binom katsayıları denilmektedir.

Pascal üçgeninin bir diğer özelliği ise, üçgendeki bütün satırlardaki sayıların toplamının sırasıyla 2’nin doğal sayı kuvvetleri olmasıdır. Bunun yanı sıra, üçgende, en tepeden sağa alta doğru ilk üç sağdan sol alt tarafa sırada farklı özellikler vardır. Bunların ilkindeki bütün sayılar 1’dir, ikincisinde de doğal sayılar bulunur. Üçüncüsünde ise üçgensel sayılar bulunmaktadır.