Ramanujan'ın Taksi Sayıları

Bernard Frénicle de Bessy’nin ilk olarak 17. yüzyılda ortaya attığı ve incelediği “Taksi Sayılar” kavramı, 20. yüzyılda ünlü matematikçi Srinivasa Ramanujan’ın yaşadığı bir olay ve onun çalışmaları sayesinde popüler olmuş ve birçok matematikçi için inceleme konusu haline gelmiştir. Anlatılana göre, bir diğer ünlü matematikçi ve Ramanujan’ın yakın bir arkadaşı olan G.H. Hardy, Ramanujan hayatını kaybetmeden kısa bir süre önce hasta olduğu bir gün onu ziyaret eder. Geldiğinde, 1729 numaralı bir taksiye binerek geldiğini ve 1729 sayısının ona fazlaca sıkıcı geldiğini ifade eder. Ramanujan ise aslında öyle olmadığını, tam tersine çok ilginç bir sayı olduğunu dile getirir ve “1729 sayısının, iki sayının küplerinin toplamı halinde iki farklı şekilde belirtilebilen en küçük sayı” olduğunu söyler.

Taksi sayıları, iki pozitif sayının küpünün n farklı şekilde toplamı biçiminde gösterilebilen en küçük sayılar olarak nitelendirilir. Ramanujan, taksi sayıları, Fermat’ın son teoremini incelemesi sebebiyle iki küpün toplamı ile ilgilenirken bulmuştur. Fermat’ın son teoremine göre, n tam sayısının 2’den büyük ve x, y, z tam sayılarının pozitif olması durumunda xⁿ + yⁿ = zⁿ denklemi için bir çözüm kümesi bulunmamaktadır. Bununla bağlantılı olarak Ramanujan, tam sayı olan x, y ve z sayıları için x³ + y³ = z³ ± 1 şeklinde eşitlikler aramaktaydı. Yani, iki pozitif tam sayının küpünün toplamının başka bir pozitif tam sayının küpünden bir eksik veya bir fazla olması durumunu karşılayan eşitliklerin varlığını incelemekteydi. Araştırmaları sonucunda, bu kurala uyan birçok sayı dizininin bulunduğu sonucuna ulaşmıştı. Defterinde (sayfanın en altında) de görülebildiği üzere, 9³ + 10³ = 12³ + 1 ve 6³ + 8³ = 9³ – 1 eşitlikleri bu durumu incelerken bulduğu önemli örneklerdendir. Bu bulguların yanında, eşitliğin, bir pozitif tam sayının küpünün bir eksiği veya bir fazlası olarak yazılabilen tarafının aynı kayması şartı ile eşitliğin diğer tarafını oluşturabilecek farklı sayı dizinleri (farklı ikililer) bulmasıyla “Taksi Sayılar” kavramını bulmuş ve geliştirmiştir. Ayrıca, eşitliklerin bir tarafındaki artı veya eksi değerindeki 1 sayısının, aynı zamanda yine artı veya eksi değerinde 1³ şeklinde yazılabilmesi de ilginç olan bir diğer kısımdır. Böylelikle, burada dahi küp kullanılmış olduğu görülür. Ne yazık ki, Ramanujan, 1920 yılında daha henüz 33 yaşındayken hayatını kaybetmiş ve ondan geriye sadece bir kutu dolusu el yazması ve üç adet defter kalmıştır. Öldüğünde, bu kavram üzerine yaptığı incelemeleri ve bulguları henüz yayınlayamamış olmasından dolayı G. H. Henry ve E. M. Wright’ın ondan geriye kalan materyallerdeki bulgulara ulaşmaları ve incelemeleri sonucunda bu kavramın geçerliliğini ispatlayıp bu sayıların bulunmasını sağlayan bir formül üretmişler ve bulguları yayınlamışlardır. Formül ile üretilen sayıların incelenen eşitlik bazında en küçük değer olup olmadığı kesin olarak belirlenememesi sebebiyle formül gerekli yeterlilikte olmasa da gelecekteki araştırmaların önünü açacak niteliktedir.

Yukarıdaki resimde, Ramanujan’ın defterinden, Fermat’ın son teoreminin incelendiği ve Taksi Sayılara dair bulguların yer aldığı bir kesit bulunmaktadır.

Günümüze kadar yalnızca ilk 6 Taksi Sayı bulunabilmiştir, bu sayılar aşağıda yer almaktadır.